Pembahasan Soal UN Persamaan dan Pertidaksamaan Eksponen


Pembahasan soal Ujian Nasional (UN) SMA bidang studi Matematika IPA untuk pokok bahasan Persamaan dan Pertidaksamaan Eksponen.

Materi-materi yang harus dikuasai dengan baik :
  • Menggunakan sifat-sifat eksponen untuk menyederhanakan bentuk-bentuk eksponen.
  • Memfaktorkan persamaan kuadrat.
  • Menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat.
  • Menggunakan sifat-sifat persamaan dan pertidaksamaan eksponen.




1.   UN 2003

Penyelesaian persamaan  \(\begin{align}
\mathrm{\sqrt{8^{x^{2}-4x+3}}=\frac{1}{32^{x-1}}}
\end{align}\) adalah p dan q, dengan p > q. Nila p + 6q = ...
A.   17
B.   -1
C.   4
D.   6
E.   9

Pembahasan :
\(\begin{align}
\mathrm{\sqrt{8^{x^{2}-4x+3}}} & = \mathrm{\frac{1}{32^{x-1}}} \\
\mathrm{8^{\frac{x^{2}-4x+3}{2}}} & = \mathrm{32^{-(x-1)}} \\
\mathrm{\left ( 2^{3} \right )^{\frac{x^{2}-4x+3}{2}}} & = \mathrm{\left ( 2^{5} \right )^{-(x-1)}} \\
\mathrm{{\color{Red} 2}^{ \frac{3\left ( x^{2}-4x+3 \right )}{2} }} & = \mathrm{{\color{Red} 2}^{-5(x-1)}} \\
\mathrm{\frac{3(x^{2}-4x+3)}{2}} & =\mathrm{-5(x-1)} \\
\mathrm{3(x^{2}-4x+3)} & = \mathrm{-10(x-1)} \\
\mathrm{3x^{2}-12x+9} & = \mathrm{-10x+10} \\
\mathrm{3x^{2}-2x-1} & = 0 \\
\mathrm{(3x+1)(x-1)} & = 0 \\
\mathrm{x=-1/3\;\;atau\;\;} & \mathrm{x=1}
\end{align}\)

Karena p > q, maka p = 1 dan q = -1/3.
Jadi, nilai p + 6 =  1 + 6(-1/3)  =  -1

Jawaban : B



2.   UN 2006

Akar-akar persamaan eksponen 32x - 10.3x+1 + 81 = 0 adalah x1 dan x2. Jika x1 > x2, maka nilai x1 - x2 = ...
A.   -4
B.   -2
C.   2
D.   3
E.   4

Pembahasan :
32x  -  10.3x+1  +  81  =  0
(3x)2  -  10.3x.31  +  81  =  0 
(3x)2  -  30(3x)  +  81  =  0
(3x - 3)(3x - 27) = 0
3x  = 3  atau  3x = 27
x = 1  atau  x = 3

Karena  x1 > x2, maka x1 = 3 dan x2 = 1.
Jadi,  x1 - x2  =  3 - 1  =  2

Jawaban : C



3.   UN 2006

Akar-akar persamaan 2.34x - 20.32x + 18 = 0 adalah x1 dan x2. Nilai x1 + x2 = ...
A.   0
B.   1
C.   2
D.   3
E.   4

Pembahasan :
2.34x  -  20.32x  +  18  =  0
2(32x)2  -  20(32x)  +  18  =  0     ÷ 2
(32x)2  -  10(32x)  +  9  =  0
(32x - 1)(32x - 9) = 0
32x = 1  atau  32x = 9
32x = 30  atau  32x = 32
2x = 0  atau  2x = 2
x = 0  atau  x = 1

Jadi, nilai x1 + x2  =  0 + 1  =  1

Jawaban : B



4.   UN 2007

Akar-akar persamaan 32x+1 - 28.3x + 9 = 0 adalah x1 dan x2. Jika x1 > x2, maka 3x1 - x2 = ...
A.   -5
B.   -1
C.   4
D.   5
E.   7

Pembahasan :
32x+1  -  28.3x  +  9  =  0
32x.31  -  28.3x  +  9  =  0
3(3x)2  -  28(3x)  +  9  =  0

Misalkan y = 3x, persamaan diatas menjadi
3y2 - 28y + 9 = 0
(3y - 1)(y - 9) = 0
y = 1/3  atau  y = 9

Karena y = 3x, maka penyelesaiannya menjadi
3x = 1/3  atau  3x = 9
3x = 3-1  atau  3x = 32
x = -1  atau  x = 2

Karena x1 > x2, maka x1 = 2 dan x2 = -1.
Jadi, 3x1 - x2 = 3(2) - (-1) = 7

Jawaban : E



5.   UN 2008

Bila x1 dan x2 penyelesaian dari persamaan 22x - 6.2x+1 + 32 = 0 dan x1 > x2, maka nilai 2x1 + x2 = ...
A.   1/4
B.   1/2
C.   4
D.   8
E.   16

Pembahasan :
22x  -  6.2x+1  +  32  =  0
(2x)2  -  6.2x.21  +  32  =  0
(2x)2  -  12(2x)  +  32  =  0
(2x - 4)(2x - 8) = 0
2x = 4  atau  2x = 8
x = 2  atau  x = 3

Karena x1 > x2, maka x1 = 3 dan x2 = 2.
Jadi, nilai 2x1 + x2  =  2(3) + 2  =  8

Jawaban : D



6.   UN 2008

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan eksponen \(\begin{align}
\mathrm{9^{2x-4}\geq \left ( \frac{1}{27} \right )^{x^{2}-4}}
\end{align}\) adalah ...
A.   {x / -2 ≤ x ≤ 10/3}
B.   {x / -10/3 ≤ x ≤ 2}
C.   {x / x ≤ -10/3  atau  x ≥ 2}
D.   {x / x ≤ -2  atau  x ≥ 10/3}
E.   {x / -10/3 ≤ x ≤ -2}

Pembahasan :
\(\begin{align}
\mathrm{9^{2x-4}} & \geq \mathrm{\left ( \frac{1}{27} \right )^{x^{2}-4}} \\
\mathrm{\left ( 3^{2} \right )^{2x-4}} & \geq \mathrm{\left ( 3^{-3} \right )^{x^{2}-4}} \\
\mathrm{3^{2(2x-4)}} & \geq \mathrm{3^{-3(x^{2}-4)}} \\
\mathrm{{2(2x-4)}} & \geq \mathrm{{-3(x^{2}-4)}} \\
\mathrm{{4x-8}} & \geq \mathrm{{-3x^{2}+12}} \\
\mathrm{{3x^{2}+4x-20}} & \geq 0 \\
\end{align}\)

Pembuat nol :
3x2 + 4x - 20 = 0
(3x + 10)(x - 2) = 0
x = -10/3  atau  x = 2

Dengan uji garis bilangan diperoleh
x ≤ -10/3  atau  x ≥ 2

Jawaban : C



7.   UN 2009

Akar-akar persamaan 5x+1 + 52-x = 30 adalah a dan b, maka a + b = ...
A.   6
B.   5
C.   4
D.   1
E.   0

Pembahasan :
5x+1  +  52-x  =  30
5x.51  +  52.5-x  =  30 
5(5x)  +  25(5-x)  =  30    × 5x
5(5x)2  +  25  =  30(5x)
5(5x)2  -  30(5x)  +  25  =  0   ÷ 5
(5x)2  -  6(5x)  +  5  =  0
(5x - 1)(5x - 5) = 0
5x = 1  atau 5x = 5
x = 0  atau  x = 1

Diperoleh a = 0 dan b = 1.
Jadi, a + b  =  0 + 1  =  1

Jawaban : D



8.   UN 2009

Akar-akar persamaan 9x - 12.3x + 27 = 0 adalah α dan β. Nilai αβ = ...
A.   -3
B.   -2
C.   1
D.   2
E.   3

Pembahasan :
9x  -  12.3x  +  27  =  0
(3x)2  -  12(3x)  +  27  =  0
(3x - 3)(3x - 9) = 0
3x = 3  atau 3x = 9
x = 1  atau  x = 2

Diperoleh α = 1  dan  β = 2.
Jadi, nilai αβ = 1.2 = 2

Jawaban : D



9.   UN 2012

Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 52x - 6.5x+1 + 125 > 0, x ∈ R adalah ...
A.   1 < x < 2
B.   5 < x < 25
C.   x < -1  atau  x > 2
D.   x < 1  atau  x > 2
E.   x < 5  atau  x > 25

Pembahasan :
52x  -  6.5x+1  +  125  >  0
(5x)2  -  6.5x.51  +  125  >  0
(5x)2  -  30(5x)  +  125  >  0

Misalkan y = 5x, pertidaksamaan diatas menjadi
y2 - 30y + 125 > 0

Pembuat nol :
y2 - 30y + 125 = 0
(y - 5)(y - 25) = 0
y = 5  atau  y = 25

Dengan uji garis bilangan diperoleh
y < 5  atau  y > 25

Karena y = 5x, maka penyelesaiannya menjadi
5x < 5  atau  5x > 25
5x < 51  atau  5x > 52
x < 1  atau  x > 2

Jawaban : D



10.   UN 2014

Himpunan penyelesaian dari 32x - 6.3x < 27 adalah ...
A.   {x / x < -3, x ∈ R}
B.   {x / x < -2, x ∈ R}
C.   {x / x < 2, x ∈ R}
D.   {x / x > 2, x ∈ R}
E.   {x / x > 3, x ∈ R}

Pembahasan :
32x  -  6.3x  <  27
(3x)2  -  6(3x)  -  27  <  0

Misalkan y = 3x, pertidaksamaan diatas menjadi
y2 - 6y - 27 < 0

Pembuat nol :
y2 - 6y - 27 = 0
(y + 3)(y - 9) = 0
y = -3  atau y = 9

Dengan uji garis bilangan diperoleh
-3 < y < 9

atau dapat pula ditulis
y > -3  dan  y < 9

Karena y = 3x, maka
3x > -3  dan  3x < 9
3x > -3  dan  3x < 32
x ∈ R    dan  x < 2

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah
{x ∈ R  dan  x < 2} = {x < 2}

Jawaban : C



11.   UN 2017

Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 3.4x - 7.2x + 2 > 0 adalah ...
A.   x < -1  atau x > 2log 3
B.   x < 2log 1/3  atau  x > 1
C.   2log 1/3 < x < 1
D.   x < 1  atau  x > 2log 1/3
E.   1 < x < 2log 1/3

Pembahasan :
3.4x  -  7.2x  +  2  >  0
3(2x)2  -  7(2x)  +  2  >  0

Misalkan y = 2x, pertidaksamaan diatas menjadi
3y2 - 7y + 2 > 0

Pembuat nol :
3y2  - 7y + 2 = 0
(3y - 1)(y - 2) = 0
y = 1/3  atau  y = 2

Dengan uji garis bilangan diperoleh
y < 1/3  atau  y > 2

Karena y = 2x, maka
2x < 1/3             atau  2x > 2
\(\mathrm{2^{x}}\) < \(\mathrm{2^{^{2}log\,1/3}}\)  atau  2x > 21
x < 2log 1/3   atau  x > 1

Jadi, nilai x yang memenuhi adalah
x < 2log 1/3  atau  x > 1

Jawaban : B



12.   UN 2017

Penyelesaian dari 5-2x+2 + 74 . 5-x - 3 ≥ 0 adalah ...
A.   x ≤ -3  atau  x ≥ 1/25
B.   -3 ≤ x ≤ 1/25
C.   x ≤ 2
D.   x ≥ 2
E.   x ≥ -2

Pembahasan :
5-2x+2  +  74 . 5-x  -  3 ≥ 0
5-2x . 52  +  74 . 5-x  -  3 ≥ 0
25(5-x)2  +  74(5-x)  -  3  ≥  0

Misalkan y = 5-x, pertidaksamaan diatas menjadi
25y2 + 74y - 3 ≥ 0

Pembuat nol :
25y2 + 74y - 3 = 0
(y + 3)(25y - 1) = 0
y = -3  atau  y = 1/25

Dengan uji garis bilangan diperoleh :
y ≤ -3  atau y ≥ 1/25

Karena y = 5-x, maka
5-x ≤ -3  ⟶  tidak mempunyai penyelesaian
5-x ≥ 1/25  ⇔  5-x ≥ 5-2  ⇔  -x  ≥ -2  ⇔  x ≤ 2

Jadi, penyelesaiannya adalah x ≤ 2

Jawaban : C

0 Response to "Pembahasan Soal UN Persamaan dan Pertidaksamaan Eksponen"

Post a Comment

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel