Monday, January 8, 2018

Pembahasan Soal UN Persamaan Trigonometri


Pembahasan soal Ujian Nasional (UN) tingkat SMA bidang studi Matematika IPA dengan pokok bahasan Persamaan Trigonometri, yaitu menentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri pada suatu interval tertentu.

UN 2017
Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x = -cos x untuk 0 ≤ x ≤ 2π adalah ...
A.   {π/3, π, 5π/3}
B.   {2π/3, π, 4π/3}
C.   {0, 2π/3, 4π/3, 2π}
D.   {0, π/3, 5π/3, 2π}
E.   {0, π/3, 4π/3, 2π}

Pembahasan :
cos 2x = -cos x
cos 2x + cos x = 0
(2cos2x - 1) + cos x = 0
2cos2x + cos x - 1 = 0
(2cos x - 1)(cos x + 1) = 0
cos x = 1/2  atau  cos x = -1

cos x = 1/2,  0 ≤ x ≤ 2π
Cosinus bernilai positif di Kuadran I dan IV.
K.I     →  x = 60°
K.IV  →  x = 360° - 60° = 300°

cos x = -1,  0 ≤ x ≤ 2π
          →  x = 180°

Jadi, HP = {60°, 180°, 300°}  atau  {π/3, π, 5π/3}

Jawaban : A

Baca juga cara konversi satuan derajat ke satuan radian atau sebaliknya dalam materi Satuan Ukuran Sudut : Derajat dan Radian.

UN 2017
Himpunan penyelesaian persamaan 4sin2x - 5sin x - 2 = 2cos2x untuk 0 ≤ x ≤ 2π adalah ...
A.   {π/6, 5π/6}
B.   {π/6, 7π/6}
C.   {5π/6, 7π/6}
D.   {5π/6, 11π/6}
E.   {7π/6, 11π/6}

Pembahasan :
4sin2x - 5sin x - 2 = 2cos2x
4sin2x - 5sin x - 2 = 2(1 - sin2x)
4sin2x - 5sin x - 2 = 2 - 2sin2x
6sin2x - 5sin x - 4 = 0
(3sin x - 4)(2sin x + 1) = 0
sin x = 4/3  atau  sin x = -1/2

sin x = 4/3  →  tidak mempunyai solusi

sin x = -1/2,  0 ≤ x ≤ 2π
Sinus bernilai negatif di kuadran III dan IV.
K.III     →  x = 180° + 30° = 210°
K.IV     →  x = 360° - 30° = 330°

Jadi, HP = {210°, 330°}  atau  {7π/6, 11π/6}

Jawaban : E


UN 2016
Himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri cos 2x + sin x = 0 untuk 0 ≤ x ≤ 360° adalah ...
A.  {60°, 120°, 150°}
B.  {60°, 150°, 300°}
C.  {90°, 210°, 300°}
D.  {90°, 210°, 330°}
E.  {120°, 250°, 330°}

Pembahasan :
cos 2x + sin x = 0
1 - 2sin²x + sin x = 0
2sin²x - sin x - 1 = 0
(2sin x + 1)(sin x - 1) = 0
sin x = -1/2  atau  sin x = 1

sin x = -1/2,  0 ≤ x ≤ 360°
Sinus bernilai negatif di kuadran III dan IV.
K.III     →  x = 180° + 30° = 210°
K.IV     →  x = 360° - 30° = 330°

sin x = 1,  0 ≤ x ≤ 360°
             →  x = 90°

Jadi, HP = {90°, 210°, 330°}

Jawaban : D


UN 2015
Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x + 3cos x - 1 = 0 pada 0 ≤ x ≤ 360° adalah ...
A.   {60°, 120°}
B.   {60°, 240°}
C.   {60°, 300°}
D.   {120°, 240°}
E.   {120°, 300°}

Pembahasan :
cos 2x + 3cos x - 1 = 0
(2cos2x - 1) + 3cos x - 1 = 0
2cos2x + 3cos x - 2 = 0
(2cos x - 1)(cos x + 2) = 0
cos x = 1/2  atau  cos x = -2

cos x = -2  →  tidak mempunyai solusi

cos x = 1/2,  0 ≤ x ≤ 360°
Cosinus bernilai positif di kuadran I dan IV.
K.I    →  x = 60°
K.IV  →  x = 360° - 60° = 300°

Jadi, HP = {60°, 300°}

Jawaban : C


UN 2014
Himpunan penyelesaian dari persamaan 2cos 3x = 1 untuk 0° ≤ x ≤ 180° adalah ...
A.   {0°, 20°, 60°}
B.   {0°, 20°, 100°}
C.   {20°, 60°, 100°}
D.   {20°, 100°, 140°}
E.   {100°, 140°, 180°}

Pembahasan :
0° ≤ x ≤ 180°  →  0° ≤ 3x ≤ 540°

2cos 3x = 1
cos 3x = 1/2,  0° ≤ 3x ≤ 540°
Cosinus bernilai positif di kuadran I dan IV.
K.I    → 3x = 60°  atau  3x = 60° + 1(360°) = 420°
K.IV → 3x = 360° - 60° = 300°

3x = 60°    →  x = 20°
3x = 420°  →  x = 140°
3x = 300°  →  x = 100°

Jadi, HP = {20°, 100°, 140°}

Jawaban : D


UN 2014
Himpunan penyelesaian dari persamaan 2cos2x + 5sin x - 4 = 0 untuk 0° ≤ x ≤ 360° adalah ...
A.   {30°, 150°}
B.   {30°, 300°}
C.   {60°, 150°}
D.   {60°, 300°}
E.   {150°, 300°}

Pembahasan :
2cos2x + 5sin x - 4 = 0
2(1 - sin2x) + 5sin x - 4 = 0
2 - 2sin2x + 5sin x - 4 = 0
2sin2x - 5sin x + 2 = 0
(2sin x - 1)(sin x - 2) = 0
sin x = 1/2  atau  sin x = 2

sin x = 2  →  tidak mempunyai solusi

sin x = 1/2,  0° ≤ x ≤ 360°
Sinus bernilai positif di kuadran I dan II.
K.I     →  x = 30°
K.II    →  x = 180° - 30° = 150°

Jadi, HP = {30°, 150°}

Jawaban : A


UN 2013
Himpunan penyelesaian persamaan trigonometri cos 2x - sin x = 0 untuk 0° ≤ x ≤ 180° adalah ...
A.   {30°, 150°}
B.   {60°, 120°}
C.   {30°, 60°, 150°}
D.   {60°, 90°, 120°}
E.   {60°, 120°, 150°}

Pembahasan :
cos 2x - sin x = 0
(1 - 2sin2x) - sin x = 0
2sin2x + sin x - 1 = 0
(2sin x - 1)(sin x + 1) = 0
sin x = 1/2  atau  sin x = -1

sin x = 1/2,  0° ≤ x ≤ 180°
Sinus bernilai positif di kuadran I dan II.
K.I     →  x = 30°
K.II    →  x = 180° - 30° = 150°

sin x = -1,  0° ≤ x ≤ 180°
(tidak ada nilai x yang memenuhi untuk 0° ≤ x ≤ 180°)

Jadi, HP = {30°, 150°}

Jawaban : A


UN 2012
Himpunan penyelesaian persamaan cos 4x + 3sin 2x = -1 untuk 0° ≤ x ≤ 180° adalah ...
A.   {120°, 150°}
B.   {150°, 165°}
C.   {30°, 150°}
D.   {30°, 165°}
E.   {15°, 105°}

Pembahasan :
cos 4x + 3sin 2x = -1
(1 - 2sin22x) + 3sin 2x = -1
-2sin22x + 3sin 2x + 2 = 0
2sin22x - 3sin 2x - 2 = 0
(2sin 2x + 1)(sin 2x - 2) = 0
sin 2x = -1/2  atau  sin 2x = 2

sin 2x = 2  →  tidak mempunyai solusi

sin 2x = -1/2 ,  0° ≤ 2x ≤ 360°
Sinus bernilai negatif di kuadran III dan IV.
K.III  →  2x = 180° + 30° = 210°
K.IV  →  2x = 360° - 30° = 330°

2x = 210°  →  x = 105°
2x = 330°  →  x = 165°

Jadi, HP = {105°, 165°}

Jawaban : -


UN 2010
Himpunan penyelesaian persamaan sin 2x + 2cos x = 0 untuk 0 ≤ x < 2π adalah ...
A.   {0, π}
B.   {π/2, π}
C.   {3π/2, π}
D.   {π/2, 3π/2}
E.   {0, 3π/2}

Pembahasan :
sin 2x + 2cos x = 0
2sin x cos x + 2cos x = 0
cos x (2sin x + 2) = 0
cos x = 0  atau  sin x = -1

cos x = 0,  0 ≤ x < 2π
    →  x = 90°

sin x = -1,  0 ≤ x < 2π
    →  x = 270°

Jadi, HP = {90°, 270°}  atau  {π/2, 3π/2}

Jawaban : D


UN 2009
Himpunan penyelesaian sin (2x + 110)° + sin (2x - 10)° = 1/2, 0° < x < 360° adalah ...
A.   {10, 50, 170, 230}
B.   {50, 70, 230}
C.   {50, 170, 230, 350}
D.   {20, 80, 100}
E.   {0, 50, 170, 230, 350}

Pembahasan :
sin (2x + 110)° + sin (2x - 10)° = 1/2

Gunakan sifat :
sin A + sin B = 2sin\(\mathrm{\left ( \frac{A+B}{2} \right )}\) cos\(\mathrm{\left ( \frac{A-B}{2} \right )}\) pada ruas kiri persamaan diatas, sehingga diperoleh

2sin (2x + 50)° cos 60° = 1/2
2sin (2x + 50)° (1/2) = 1/2
sin (2x + 50)° = 1/2
sin (2x + 50)° = sin 30°

Solusi I :
2x + 50 = 30 + k.360
2x = -20 + k.360
  x = -10 + k.180
Untuk k = 1  →  x = 170
Untuk k = 2  →  x = 350

Solusi II :
2x + 50 = (180 - 30) + k.360
2x = 100 + k.360
  x = 50 + k.180
Untuk k = 0  →  x = 50
Untuk k = 1  →  x = 230

Jadi, HP = {50, 170, 230, 350}

Jawaban : C


UN 2008
Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x + 7sin x - 4 = 0, untuk 0 ≤ x ≤ 360° adalah ...
A.   {240°, 300°}
B.   {210°, 330°}
C.   {120°, 240°}
D.   {60°, 120°}
E.   {30°, 150°}

Pembahasan :
cos 2x + 7sin x - 4 = 0
(1 - 2sin2x) + 7sin x - 4 = 0
-2sin2x + 7sin x - 3 = 0
2sin2x - 7sin x + 3 = 0
(2sin x - 1)(sin x - 3) = 0
sin x = 1/2  atau  sin x = 3

sin x = 3  →  tidak mempunyai solusi

sin x = 1/2,  0° ≤ x ≤ 360°
Sinus bernilai positif di kuadran I dan II.
K.I   →  x = 30°
K.II  →  x = 180° - 30° = 150°

Jadi, HP = {30°, 150°}

Jawaban : E


UN 2005
Nilai x yang memenuhi persamaan 2√3 cos2x - 2sin x cos x - 1 - √3 = 0, untuk 0° ≤ x ≤ 360° adalah ...
A.   {45°, 105°, 225°, 285°}
B.   {45°, 135°, 225°, 315°}
C.   {15°, 105°, 195°, 285°}
D.   {15°, 135°, 195°, 315°}
E.   {15°, 225°, 295°, 315°}

Pembahasan :
Acos x + Bsin x = k cos (x - θ)
dengan
k = \(\sqrt{\mathrm{A^{2}+B^{2}}}\)
tan θ = \(\mathrm{\frac{B}{A}}\)  atau  θ = arctan\(\mathrm{\left ( \frac{B}{A} \right )}\)
Catatan : Sudut θ berada di kuadran yang sama dengan titik (A, B).

2√3 cos2x - 2sin x cos x - 1 - √3 = 0
⇔ 2√3 cos2x - √3 - 2sin x cos x = 1
⇔ √3 (2cos2x - 1) - 2sin x cos x = 1
⇔ √3 cos 2x - sin 2x = 1   ............................(1)

Misalkan : √3 cos 2x - sin 2x = k cos (2x - θ)
A = √3  dan  B = -1
k = \(\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+(-1)^{2}}\) = 2
Karena (A, B) = (√3, -1) berada di kuadran IV maka θ berada di kuadran IV.
tan θ = \(\frac{-1}{\sqrt{3}}\) = \(-\frac{\sqrt{3}}{3}\)  →  θ = 330°

Diperoleh persamaan
√3 cos 2x - sin 2x = 2cos (2x - 330°)   .........(2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh hubungan
2cos (2x - 330°) = 1
cos (2x - 330°) = 1/2
cos (2x - 330°) = cos 60°

Solusi I :
2x - 330° = 60° + k.360°
2x = 390° + k.360°
  x = 195° + k.180°
Untuk k = -1  →  x = 15°
Untuk k = 0   →  x = 195°

Solusi II :
2x - 330° = -60° + k.360°
2x = 270° + k.360°
  x = 135° + k.180°
Untuk k = 0  →  x = 135°
Untuk k = 1  →  x = 315°

Jadi, HP = {15°, 135°, 195°, 315°}

Jawaban : D


UN 2004
Himpunan penyelesaian persamaan √6 sin x + √2 cos x = 2, untuk 0° ≤ x ≤ 360° adalah ...
A.   {15°, 105°}
B.   {15°, 195°}
C.   {75°, 105°}
D.   {75°, 345°}
E.   {105°, 345°}

Pembahasan :
√6 sin x + √2 cos x = 2
⇔ √2 cos x + √6 sin x = 2   .........................(1)

Misalkan : √2 cos x + √6 sin x = k cos (x - θ)
A = √2  dan  B = √6
k = \(\sqrt{\left ( \sqrt{2} \right )^{2}+\left ( \sqrt{6} \right )^{2}}\) = 2√2
Karena (A, B) = (√2, √6) berada di kuadran I, maka θ berada di kuadran I.
tan θ = \(\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}\) = √3  →  θ = 60°

Diperoleh persamaan
√2 cos x + √6 sin x = 2√2 cos (x - 60°)   ......(2)

Dari persaamaan (1) dan (2) diperoleh hubungan
2√2 cos (x - 60°) = 2
cos (x - 60°) = \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
cos (x - 60°) = cos 45°

Solusi I :
x - 60° = 45° + k.360°
x = 105° + k.360°
Untuk k = 0  →  x = 105°

Solusi II :
x - 60° = -45° + k.360°
x = 15° + k.360°
Untuk k = 0  →  x = 15°

Jadi, HP = {15°, 105°}

Jawaban : A


UN 2003
Untuk 0° ≤ x < 360°, himpunan penyelesaian dari sin x - √3 cos x - √3 = 0 adalah ...
A.   {120°, 180°}
B.   {90°, 210°}
C.   {30°, 270°}
D.   {0°, 300°}
E.   {0°, 300°, 360°}

Pembahasan :
sin x - √3 cos x - √3 = 0
⇔ -√3 cos x + sin x = √3   ..........................(1)

Misalkan : -√3 cos x + sin x = k cos (x - θ)
A = -√3  dan  B = 1
k = \(\sqrt{\left ( -\sqrt{3} \right )^{2}+\left ( 1 \right )^{2}}\) = 2
Karena (A, B) = (-√3, 1) berada di kuadran II, maka θ berada di kuadran II.
tan θ = \(\frac{1}{-\sqrt{3}}\) = \(-\frac{\sqrt{3}}{3}\)  →  θ = 150°

Diperoleh persamaan
-√3 cos x + sin x = 2cos (x - 150°)   .............(2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh hubungan
2cos (x - 150°) = √3
cos (x - 150°) = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
cos (x - 150°) = cos 30°

Solusi I :
x - 150° = 30° + k.360°
x = 180° + k.360°
Untuk k = 0  →  x = 180°

Solusi II :
x - 150° = -30° + k.360°
x = 120° + k.360°
Untuk k = 0  →  x = 120°

Jadi, HP = {120°, 180°}

Jawaban : A


Artikel Terkait


EmoticonEmoticon