Wednesday, December 6, 2017

Pembahasan SBMPTN 2017 Persamaan Trigonometri

Tags


Secara umum, penyelesaian soal-soal SBMPTN 2017 untuk materi persamaan trigonometri dilakukan dengan cara mengubah persamaan trigonometri yang diberikan ke dalam bentuk persamaan kuadrat dengan variabelnya merupakan fungsi trigonometri tertentu. Oleh karenanya, penguasaan materi identitas trigonometri dan persamaan kuadrat akan sangat dibutuhkan.


 1.  SBMPTN 2017  Saintek 120
Jika x1 dan x2 adalah solusi dari \(\mathrm{sec\,x-2-15\,cos\,x=0}\) dengan 0 ≤ x ≤ π, x ≠ \(\frac{\pi}{2}\), maka \(\mathrm{\frac{1}{cos\,x_{1}\,\cdot\, cos\,x_{2}}=\,...}\)
(A)   -20
(B)   -15
(C)   -10
(D)   -5
(E)   0

Pembahasan :
sec x - 2 - 15cos x = 0
\(\mathrm{\frac{1}{cos\,x}}\) - 2 - 15cos x = 0     cos x)
1 - 2cos x - 15cos2x = 0 
15cos2x + 2cos x - 1 = 0

Berdasarkan rumus hasil kali akar-akar persamaan kuadrat, maka :
cos x1 . cos x2 = \(\frac{c}{a}\) = \(\frac{-1}{15}\)

Jadi, \(\mathrm{\frac{1}{cos\,x_{1}\,\cdot\, cos\,x_{2}}}\) = \(\frac{1}{\left ( -\frac{1}{15} \right )}\) = -15

Jawaban : B



 2.  SBMPTN 2017  Saintek 124
Jika x1 dan x2 adalah solusi dari \(\mathrm{\frac{2\,sin\,x\,cos\,2x}{cos\,x\,sin\,2x}-5\,tan\,x+5=0}\), maka tan (x1 + x2) = ...
(A)   \(-\frac{5}{7}\)
(B)   \(-\frac{5}{3}\)
(C)   \(\frac{\sqrt{5}}{7}\)
(D)   \(\frac{\sqrt{5}}{3}\)
(E)   \(\frac{5}{3}\)

Pembahasan :
tan (A + B) = \(\mathrm{\frac{tan\,A\,+\,tan\,B}{1\,-\,tan\,A\,\cdot\,tan\,B}}\)
cot 2x = \(\mathrm{\frac{1\,-\,tan^{2}x}{2\,tan\,x}}\)

\(\mathrm{\frac{2\,sin\,x\,cos\,2x}{cos\,x\,sin\,2x}}\) - 5tan x + 5 = 0
2tan x . cot 2x - 5tan x + 5 = 0
2tan x . \(\mathrm{\frac{1\,-\,tan^{2}x}{2\,tan\,x}}\) - 5tan x + 5 = 0
1 - tan2x - 5tan x + 5 = 0
tan2x + 5tan x - 6 = 0
(tan x + 6)(tan x - 1) = 0
tan x = -6  atau  tan x = 1

Untuk tan x1 = -6  dan  tan x2 = 1, maka :
tan (x1 + x2) = \(\mathrm{\frac{tan\,x_{1}\,+\,tan\,x_{2}}{1\,-\,tan\,x_{1}\cdot tan\,x_{2}}}\) = \(\frac{-6\,+\,1}{1\,-\,(-6)(1)}\) = \(-\frac{5}{7}\)



 3.  SBMPTN 2017  Saintek 133
Banyaknya solusi yang memenuhi
-2tan x . sec x - 2tan x + 5sin x = 0 dengan 0 < x < π adalah ...
(A)   0
(B)   1
(C)   2
(D)   3
(E)   4

Pembahasan :
-2tan x . sec x - 2tan x + 5sin x = 0
-2tan x (sec x + 1) + 5sin x = 0
5sin x = 2tanx (sec x + 1)
5sin x = \(\mathrm{\frac{2\,sin\,x}{cos\,x}}\)(sec x + 1)
5 = \(\mathrm{\frac{2}{cos\,x}}\)(sec x + 1)
5cos x = 2(sec x + 1) 
5cos x = \(\mathrm{\frac{2}{cos\,x}}\) + 2    cos x)
5cos2x = 2 + 2cos x
5cos2x - 2cos x - 2 = 0

Dengan menggunakan rumus kuadrat diperoleh
cos x = \(\mathrm{\frac{2+\sqrt{44}}{10}}\)  atau  cos x = \(\mathrm{\frac{2-\sqrt{44}}{10}}\)
Selanjutnya, akan diperiksa apakah kedua persamaan diatas mempunyai solusi pada interval 0 < x < π. Jika keduanya mempunyai solusi, artinya persamaan trigonometri diatas mempunyai 2 buah solusi.

Untuk interval 0 < x < π, maka -1 < cos x < 1, dapat ditulis |cos x| < 1. Artinya, kedua persamaan diatas akan mempunyai solusi jika memenuhi |cos x| < 1.
\(\left | \mathrm{cos\,x} \right |=\left | \frac{2\,+\,\sqrt{44}}{10} \right |<\left | \frac{2\,+\,\sqrt{49}}{10} \right |=\left | \frac{9}{10} \right |<1\)

\(\left | \mathrm{cos\,x} \right |=\left | \frac{2\,-\,\sqrt{44}}{10} \right |<\left | \frac{2\,-\,\sqrt{49}}{10} \right |=\left | \frac{-5}{10} \right |<1\)

Karena keduanya memenuhi, kita simpulkan bahwa persamaan trigonometri diatas mempunyai 2 buah solusi.

Jawaban : C



 4.  SBMPTN 2017  Saintek 134
Jika \(\mathrm{\frac{2\,tan\,x}{1\,-\,tan^{2}x}-5=0}\), dengan 0 < x < \(\frac{\pi}{2}\) maka \(\mathrm{cos^{2}x-sin^{2}x=...}\)
(A)   \(\frac{1}{\sqrt{26}}\)
(B)   \(\frac{2}{\sqrt{26}}\)
(C)   \(\frac{3}{\sqrt{26}}\)
(D)   \(\frac{4}{\sqrt{26}}\)
(E)   \(\frac{5}{\sqrt{26}}\)

Pembahasan :
Karena tan 2x = \(\mathrm{\frac{2\,tan\,x}{1\,-\,tan^{2}x}}\), akibatnya
\(\mathrm{\frac{2\,tan\,x}{1\,-\,tan^{2}x}}\) - 5 = 0   ⇔   tan 2x = 5


Berdasarkan gambar diatas :
tan 2x = 5   →   cos 2x = \(\frac{1}{\sqrt{26}}\)
Karena cos 2x = cos2x - sin2x, maka
cos 2x = cos2x - sin2x = \(\frac{1}{\sqrt{26}}\)

Jawaban : A


 5.  SBMPTN 2017  Saintek 135
Jika x1 dan x2 memenuhi persamaan \(\mathrm{2\,sin\,x+sec\,x-2\,tan\,x-1=0}\), maka nilai \(\mathrm{sin\,x_{1}+cos\,x_{2}}\) yang mungkin adalah ...
(A)   \(\frac{4}{5}\)
(B)   \(\frac{3}{4}\)
(C)   \(\frac{4}{3}\)
(D)   \(\frac{3}{2}\)
(E)   2

Pembahasan :
2sin x + sec x - 2tan x - 1 = 0
2sin x + \(\mathrm{\frac{1}{cos\,x}}\) - \(\mathrm{\frac{2\,sin\,x}{cos\,x}}\) - 1 = 0    cos x)
2sin x . cos x + 1 - 2sin x - cos x = 0
2sin x . cos x - 2sin x - cos x + 1 = 0
2sin x(cos x - 1) - (cos x - 1) = 0
(2sin x - 1)(cos x - 1) = 0
sin x = 1/2  atau  cos x = 1

Untuk sin x1 = 1/2 dan cos x2 = 1, maka
sin x1 + cos x2 = 1/2 + 1 = 3/2

Jawaban : D



 6.  SBMPTN 2017  Saintek 136
Jika x1 dan x2 adalah solusi dari
2(cot 2x) (cot x) + cot x = 1, maka (cot x1) . (cot x2) = ...
(A)   -2
(B)   -1
(C)   1
(D)   2
(E)   3

Pembahasan :
cot 2x = \(\mathrm{\frac{cot^{2}x\,-\,1}{2\,cot\,x}}\)

2(cot 2x) (cot x) + cot x = 1
2 \(\left (\mathrm{\frac{cot^{2}x\,-\,1}{2\,cot\,x}}  \right )\)cot x + cot x - 1 = 0
cot2x - 1 + cot x - 1 = 0
cot2x + cot x - 2 = 0
(cot x + 2)(cot x - 1) = 0
cot x = -2  atau  cot x = 1

Untuk cot x1 = -2 dan cot x2 = 1, maka
(cot x1) . (cot x2) = (-2)(1) = -2

Jawaban : A


 7.  SBMPTN 2017  Saintek 140
Jika 2sin x + 3cot x - 3csc x = 0, dengan 0 < x < \(\frac{\pi}{2}\), maka sin x . cos x = ...
(A)   √3
(B)   \(\frac{1}{2}\)√3
(C)   \(\frac{1}{3}\)√3
(D)   \(\frac{1}{4}\)√3
(E)   \(\frac{1}{5}\)√3

Pembahasan :
2sin x  +  3cot x  -  3csc x  =  0
2sin x  +  \(\mathrm{\frac{3\,cos\,x}{sin\,x}}\)  -  \(\mathrm{\frac{3}{sin\,x}}\)  =  0    sin x)
2sin2x  +  3cos x  -  3  =  0
2(1 - cos2x)  +  3cos x  -  3  =  0
2  -  2cos2x  +  3cos x  -  3  =  0
2cos2x  -  3cos x  +  1  =  0
(2cos x  -  1)(cos x  -  1) = 0
cos x = 1/2  atau  cos x = 1

Untuk 0 < x < \(\frac{\pi}{2}\), maka cos x = 1 tidak mempunyai solusi.
cos x = 1/2   →   sin x = \(\frac{1}{2}\)√3

Jadi, sin x . cos x = \(\frac{1}{2}\)√3 . \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{1}{4}\)√3

Jawaban : D



 8.  SBMPTN 2017  Saintek 145
Diketahui persamaan \(\mathrm{sec\,\theta \left ( sec\,\theta (sin\,\theta )^{2}+\frac{2}{3}\sqrt{3}\,sin\,\theta  \right )=1}\). Jika θ1 dan θ2 adalah solusi dari persamaan tersebut, maka nilai  tan θ1 . tan θ2 = ...
(A)   -1
(B)   -0,5
(C)   0
(D)   0,5
(E)   1

Pembahasan :
sec θ (sec θ (sin θ)2  +  \(\frac{2}{3}\)√3 sin θ)  =  1 
(sec θ (sin θ)2  +  \(\frac{2}{3}\)√3 sin θ)  =  \(\mathrm{\frac{1}{sec\,\theta}}\) 
\(\mathrm{\frac{1}{cos\,\theta}}\) . sin2θ  +  \(\frac{2}{3}\)√3 sin θ  =  cos θ     cos θ)
sin2θ  +  \(\frac{2}{3}\)√3 sin θ . cos θ  =  cos2θ
\(\frac{\sqrt{3}}{3}\). 2sinθ . cos θ  =  cos2θ  -  sin2θ
\(\frac{\sqrt{3}}{3}\) . sin 2θ  =  cos 2θ
\(\mathrm{\frac{sin\,2\theta }{cos\,2\theta }}\)  =  \(\frac{3}{\sqrt{3}}\)
tan 2θ  =  √3

Berdasarkan rumus sudut rangkap, persamaan diatas dapat ditulis menjadi
\(\mathrm{\frac{2\,tan\,\theta }{1\,-\,tan^{2}\theta }}\) = √3
2tan θ = √3 - √3 tan2θ
√3 tan2θ + 2tan θ - √3 = 0
(√3 tan θ - 1)(tan θ + √3) = 0
tan θ = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)  atau  tan θ = -√3

Untuk tan θ1 = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) dan tan θ2 = -√3, maka :
tan θ1 . tan θ2 = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) . (-√3) = -1

Jawaban : A



 9.  SBMPTN 2017  Saintek 146
Jika x1 dan x2 adalah solusi dari \(\mathrm{csc^{2}x+3\,csc\,x-10=0}\), dengan \(-\frac{\pi}{2}\) < x < \(\frac{\pi}{2}\), x ≠ 0, maka \(\mathrm{\frac{sin\,x_{1}\,+\,sin\,x_{2}}{sin\,x_{1}\,\cdot\, sin\,x_{2}}=...}\)
(A)   -1
(B)   -2
(C)   -3
(D)   -4
(E)   -5

Pembahasan :
csc2x  +  3csc x  -  10  =  0
(csc x  +  5)(csc x  -  2) = 0
csc x = -5  atau  csc x = 2

csc x = -5   ⇔   sin x = -\(\frac{1}{5}\)
csc x = 2   ⇔   sin x = \(\frac{1}{2}\)

Untuk sin x1 = -\(\frac{1}{5}\) dan sin x2 = \(\frac{1}{2}\), maka
\(\mathrm{\frac{sin\,x_{1}\,+\,sin\,x_{2}}{sin\,x_{1}\,\cdot\, sin\,x_{2}}}\) = \(\frac{-\frac{1}{5}\,+\,\frac{1}{2}}{-\frac{1}{5}\,\cdot \,\frac{1}{2}}\) = \(\frac{\frac{3}{10}}{-\frac{1}{10}}\) = -3

Jawaban : C



 10.  SBMPTN 2017  Saintek 148
Jika cot x ≠ 1, dan cot2x - 6cot x = 1, maka nilai \(\mathrm{\left | sin\,x_{1}\cdot sin\,x_{2} \right |}\) adalah ...
(A)   \(\frac{1}{\sqrt{10}}\)
(B)   \(\frac{1}{2\sqrt{10}}\)
(C)   \(\frac{1}{3\sqrt{10}}\)
(D)   \(\frac{1}{4\sqrt{10}}\)
(E)   \(\frac{1}{5\sqrt{10}}\)

Pembahasan :
Dengan menggunakan rumus kuadrat pada persamaan cot2x - 6cot x - 1 = 0 akan diperoleh :
cot x = 3 + √10  atau  cot x = 3 - √10


Berdasarkan gambar diatas :
cot x = 3 + √10   →   |sin x| = \(\frac{1}{\sqrt{20\,+\,6\sqrt{10}}}\)
cot x = 3 - √10    →   |sin x| = \(\frac{1}{\sqrt{20\,-\,6\sqrt{10}}}\)

Untuk |sin x1| = \(\frac{1}{\sqrt{20\,+\,6\sqrt{10}}}\) dan |sin x2| = \(\frac{1}{\sqrt{20\,-\,6\sqrt{10}}}\) maka
|sin x1 . sin x2| = |sin x1| . |sin x2 |
|sin x1 . sin x2| = \(\frac{1}{\sqrt{20\,+\,6\sqrt{10}}}\) . \(\frac{1}{\sqrt{20\,-\,6\sqrt{10}}}\)
|sin x1 . sin x2| = \(\frac{1}{\sqrt{\left ( 20\,+\,6\sqrt{10} \right )\left ( 20\,-\,6\sqrt{10} \right )}}\)
|sin x1 . sin x2| = \(\frac{1}{\sqrt{400\,-\,360}}\)
|sin x1 . sin x2| = \(\frac{1}{\sqrt{40}}\) = \(\frac{1}{2\sqrt{10}}\)

Jawaban : B



 11.  SBMPTN 2017  Saintek 155
Jika x1 dan x2 adalah solusi dari \(\mathrm{2\,cot\,x-2\,tan\,x-4\,sin\,x\cdot cos\,x=0}\) untuk 0 < x < \(\frac{\pi}{2}\), maka sin2x1 + sin2x2 = ...
(A)   \(\frac{1}{2}\)
(B)   1
(C)   \(\frac{3}{2}\)
(D)   2
(E)   \(\frac{5}{2}\)

Pembahasan :
2cot x  -  2tan x  -  4sin x . cos x = 0
\(\mathrm{\frac{2\,cos\,x}{sin\,x}}\) - \(\mathrm{\frac{2\,sin\,x}{cos\,x}}\) = 4sin x . cos x
\(\mathrm{\frac{2cos^{2}x\,-\,2sin^{2}x}{sin\,x\cdot cos\,x}}\) = 4sin x . cos x
2cos2x - 2sin2x = 4(sin x . cos x)2
2(cos2x - sin2x) = (2sin x . cos x)2
2cos 2x = (sin 2x)2
2cos 2x = 1 - (cos 2x)2
(cos 2x)2 + 2cos 2x - 1 = 0

Berdasarkan rumus jumlah akar-akar persamaan kuadrat, maka :
cos 2x1 + cos 2x2 = \(\frac{-b}{a}\) = \(\frac{-2}{1}\) = -2

cos 2x1 + cos 2x2 = -2
(1 - 2sin2x1) + (1 - 2sin2x2)  = -2
2 - 2sin2x1 - 2sin2x2 = -2
4 = 2sin2x1 + 2sin2x2
2 = sin2x1 + sin2x2

Jawaban :D

Artikel Terkait


EmoticonEmoticon