Penyelesaian Persamaan Eksponen


Penyelesaian dari suatu persamaan eksponen dalam peubah x adalah semua nilai x yang memenuhi persamaan eksponen tersebut atau dengan kata lain, nilai-nilai x yang menyebabkan persamaan eksponen tersebut bernilai benar. Berikut bentuk-bentuk persamaan eksponen beserta sifat-sifat yang digunakan dalam menentukan solusinya.

A.  Bentuk  af(x) = ag(x) 

Persamaan eksponen diatas mempunyai bilangan pokok (basis) yang sama pada kedua ruas, yaitu a dan nilainya konstan. Namun pangkatnya berbeda, yaitu f(x) dan g(x). Satu-satunya kondisi agar persamaan tersebut bernilai benar adalah ketika pangkatnya sama, yaitu ketika f(x) = g(x).

 Sifat A  Misalkan a > 0 dan a ≠ 1.
Jika af(x) = ag(x) maka f(x) = g(x)

 Contoh 1 
Tentukan penyelesaian dari 22x-7 = 81-x
Jawab :
Langkah pertama, samakan basis pada kedua ruas.
22x-7 = 81-x
22x-7 = (23)1-x
22x-7 = 23-3x

Karena basisnya sama, berdasarkan sifat A diperoleh
2x - 7 = 3 - 3x
5x = 10
x = 2

Jadi, penyelesaiannya adalah x = 2


B.  Bentuk  af(x) = bf(x) 

Persamaan eksponen diatas mempunyai bilangan pokok yang berbeda, yaitu a dan b dan keduanya konstan. Namun, kedua pangkatnya sama, yaitu f(x). Untuk ab ≠ 0, maka a0 = 1 dan b0 = 1. Akibatnya a0 = b0, untuk a, b ≠ 0. Jadi, agar persamaan af(x) = bf(x) bernilai benar, haruslah f(x) = 0.

 Sifat B  Misalkan a, b > 0 dan ab ≠ 1.
Jika af(x) = bf(x) maka  f(x) = 0

 Contoh 2 
Tentukan penyelesaian dari 32x-2 = 5x-1

Jawab :
Kedua basis pada persamaan diatas berbeda dan tidak ada sifat-sifat perpangkatan yang dapat kita gunakan untuk menyamakan kedua basis tersebut. Namun, kedua pangkatnya bisa kita samakan menjadi sebagai berikut :
32x-2 = 5x-1
32(x-1) = 5x-1
9x-1 = 5x-1

Berdasarkan sifat B, maka
x - 1 = 0
x = 1

Jadi, penyelesaiannya adalah x = 1


C.  Bentuk  af(x) = bg(x)

Persamaan eksponen diatas mempunyai bilangan pokok yang berbeda, yaitu a dan b yang nilainya konstan. Dan pangkatnya juga berbeda yaitu f(x) dan g(x). Solusi dari bentuk seperti ini dapat kita tentukan dengan menggunakan sifat-sifat logaritma.

 Sifat C  Misalkan ab > 0 dan ab ≠ 1.
Jika af(x) = bg(x) maka log af(x) = log bg(x) 

 Contoh 3 
Tentukan penyelesaian dari (\(\frac{2}{3}\))x = 61-x

Jawab :
Basis pada kedua ruas persamaan diatas berbeda, begitu pula pangkatnya. Berdasarkan sifat C, maka
log  (\(\frac{2}{3}\))x = log 61-x
x log (\(\frac{2}{3}\)) = (1 - x) log 6       log an = n log a
x log (\(\frac{2}{3}\)) = log 6 - x log 6   
x log (\(\frac{2}{3}\)) + x log 6 = log 6
x (log (\(\frac{2}{3}\)) + log 6) = log 6
x log 4 = log 6                    log a + log b = log (ab)
x = \(\mathrm{\frac{log\;6}{log\;4}}\)
x = 4log 6

Jadi, penyelesaiannya adalah x = 4log 6


D.  Bentuk  f(x)g(x) = 1

Ada 3 kondisi yang menyebabkan persamaan diatas bernilai benar.
  1. Karena 1g(x) = 1 benar untuk setiap g(x), maka f(x)g(x) = 1 akan bernilai benar ketika f(x) = 1.
  2. Karena (-1)g(x) = 1 benar jika g(x) genap, maka f(x)g(x) = 1 akan bernilai benar ketika f(x) = -1 dengan syarat g(x) genap.
  3. Karena f(x)0 = 1 benar jika f(x) ≠ 0, maka f(x)g(x) = 1 akan bernilai benar ketika g(x) = 0 dengan syarat f(x) ≠ 0.

 Sifat D  Jika f(x)g(x) = 1 maka   
(1)  f(x) = 1 
(2)  f(x) = -1,  dengan syarat g(x) genap
(3)  g(x) = 0,  dengan syarat f(x) ≠ 0

 Contoh 4 
Tentukan HP dari (2x + 3)x-1 = 1

Jawab :
Misalkan : f(x) = 2x + 3  dan  g(x) = x - 1

Solusi 1 : f(x) = 1
2x + 3 = 1
2x = -2
x = -1  

Solusi 2 : f(x) = -1, dengan syarat g(x) genap
2x + 3 = -1
2x = -4
x = -2  
Periksa :
Untuk x = -2  →  g(x) = -2 - 1 = -3  (ganjil)
Karena g(x) ganjil, maka x = -2 tidak memenuhi.

Solusi 3 : g(x) = 0, dengan syarat f(x) ≠ 0
x - 1 = 0
x = 1  
Periksa :
Untuk x = 1  →  f(x) = 2(1) + 3 = 5 ≠ 0.
Karena f(x) ≠ 0, maka x = 1 memenuhi.

HP = {-1, 1}


E.  Bentuk  f(x)h(x) = g(x)h(x) 

Persamaan eksponen diatas memuat bilangan pokok yang berbeda, yaitu f(x) dan g(x), namun kedua pangkatnya sama, yaitu h(x). Ada 3 kondisi yang menyebabkan persamaan diatas bernilai benar.
  1. Karena pangkatnya sama, haruslah bilangan pokoknya juga sama, yaitu f(x) = g(x).
  2. Dua buah bilangan yang berlainan tanda, jika dipangkatkan bilangan genap yang sama akan menghasilkan bilangan yang sama. Sebagai ilustrasi, (2)h(x) = (-2)h(x)  bernilai benar ketika h(x) genap. Jadi, persamaan f(x)h(x) = g(x)h(x)  akan bernilai benar jika f(x) = -g(x) dengan syarat h(x) genap.
  3. Untuk f(x) dan g(x) ≠ 0, maka f(x)0 = 1 dan g(x)0 = 1. Akibatnya, f(x)0 = g(x)0  ketika f(x) dan g(x) ≠ 0. Jadi, persamaan f(x)h(x) = g(x)h(x)  akan bernilai benar jika h(x) = 0 asalkan f(x) ≠ 0 dan g(x) ≠ 0.

 Sifat E  Jika f(x)h(x) = g(x)h(x) maka   
(1)  f(x) = g(x)
(2)  f(x) = -g(x),  dengan syarat h(x) genap
(3)  h(x) = 0,  dengan syarat f(x) ≠ 0 dan g(x) ≠ 0

 Contoh 5 
Tentukan HP dari (2x + 1)x-6 = (x + 5)x-6

Jawab :
Misalkan : f(x) = 2x + 1,  g(x) = x + 5  dan  h(x) = x - 6

Solusi 1 : f(x) = g(x)
2x + 1 = x + 5
x = 4  

Solusi 2 : f(x) = -g(x),  dengan syarat h(x) genap
2x + 1 = -(x + 5)
2x + 1 = -x - 5
3x = -6
x = -2  
Periksa :
Untuk x = -2  →  h(x) = -2 - 6 = -8 (genap)
Karena h(x) genap, maka x = -2 memenuhi.

Solusi 3 : h(x) = 0,  dengan syarat f(x) ≠ 0 dan g(x) ≠ 0
x - 6 = 0
x = 6  
Periksa : Untuk x = 6 maka
f(x) = 2(6) + 1 = 13 ≠ 0
g(x) = 6 + 5 = 11 ≠ 0
Karena keduanya ≠ 0, maka x = 6 memenuhi.

Catatan : Jika seandainya salah satu atau keduanya bernilai nol, maka x = 6 tidak memenuhi.

∴ HP = {-2, 4, 6}


F.  Bentuk f(x)g(x) = f(x)h(x) 

Persamaan eksponen diatas memiliki basis yang sama, yaitu f(x). Namun kedua pangkatnya berbeda, yaitu g(x) dan h(x). Ada 4 kondisi yang menyebabkan persamaan diatas bernilai benar.
  1. Karena basisnya sama, haruslah pangkatnya juga sama, yaitu g(x) = h(x).
  2. Untuk berapapun nilai g(x) dan h(x), maka 1g(x) = 1 dan 1h(x) = 1. Akibatnya, 1g(x) = 1h(x)  untuk berapapun nilai g(x) dan h(x). Jadi, persamaan f(x)g(x) = f(x)h(x) akan bernilai benar jika f(x) = 1.
  3. Karena (-1)g(x) = (-1)h(x) benar ketika g(x) dan h(x) keduanya genap atau keduanya ganjil, maka persamaan f(x)g(x) = f(x)h(x) akan bernilai benar jika f(x) = -1 dengan syarat g(x) dan h(x) keduanya genap atau keduanya ganjil. 
  4. Untuk g(x) dan h(x) positif, maka 0g(x) = 0 dan 0h(x) = 0. Akibatnya, 0g(x) = 0h(x) ketika g(x) dan h(x) positif. Jadi, persamaan f(x)g(x) = f(x)h(x) akan bernilai benar jika f(x) = 0 dengan syarat g(x) dan h(x) kedua positif.

 Sifat F  Jika f(x)g(x) = f(x)h(x) maka   
(1)  g(x) = h(x)
(2)  f(x) = 1 
(3)  f(x) = -1,  g(x) dan h(x) keduanya genap/ganjil
(4)  f(x) = 0,  g(x) dan h(x) keduanya positif

 Contoh 6 
Tentukan HP dari (x - 4)4x = (x - 4)1+3x

Jawab :
Misalkan : f(x) = x - 4,  g(x) = 4x  dan h(x) = 1 + 3x

Solusi 1 : g(x) = h(x)
4x = 1 + 3x
x = 1  

Solusi 2 : f(x) = 1
x - 4 = 1
x = 5  

Solusi 3 : f(x) = -1,  g(x) dan h(x) keduanya genap/ganjil.
x - 4 = -1
x = 3  
Periksa : Untuk x = 3 maka
g(x) = 4(3) = 12  (genap)
h(x) = 1 + 3(3) = 10  (genap)
Karena keduanya genap, maka x = 3 memenuhi.

Catatan : Jika seandainya keduanya ganjil, maka x = 3 juga memenuhi. Namun, jika salah satu genap dan yang lain ganjil maka x = 3 tidak memenuhi.

Solusi 4 : f(x) = 0,  g(x) dan h(x) keduanya positif.
x - 4 = 0
x = 4  
Periksa : Untuk x = 4 maka
g(x) = 4(4) = 16  (positif)
h(x) = 1 + 3(4) = 13  (positif)
Karena keduanya positif, maka x = 4 memenuhi.

Catatan : Jika seandainya salah satu atau keduanya bernilai ≤ 0, maka x = 4 tidak memenuhi.

∴ HP = {1, 3, 4, 5}


Coba perhatikan kembali solusi-solusi yang menyangkut syarat pangkat genap pada sifat-sifat diatas. Yang menarik untuk dipertanyakan adalah bagaimana seandainya pangkatnya berbentuk pecahan. Hal ini perlu diulas karena tidak menutup kemungkinan saat memeriksa apakah pangkatnya genap atau ganjil, ternyata yang kita temukan adalah bilangan pecahan, yang sudah jelas bukan merupakan bilangan genap ataupun ganjil.

Yang perlu dipahami adalah ketika kita memberikan syarat bahwa pangkatnya harus genap tujuannya adalah ingin memperoleh nilai positif. Kita tahu bahwa (-1)p bernilai positif ketika p genap. Namun, bagaimana seandainya p bukan bilangan bulat melainkan bilangan pecahan, misalkan \(\mathrm{\frac{m}{n}}\) dengan m dan n bilangan bulat.

Pertanyaan spesifiknya adalah kapan (-1)\(\mathrm{^{\frac{m}{n}}}\) bernilai positif ?

Berdasarkan sifat eksponen, hubungan pangkat pecahan dengan bentuk akar dapat kita nyatakan sebagai berikut $$(-1)^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{(-1)^{m}}$$ Dari bentuk diatas, dapat kita simpulkan bahwa
  • (-1)\(\mathrm{^{\frac{m}{n}}}\) bernilai positif, jika m genap.
  • (-1)\(\mathrm{^{\frac{m}{n}}}\) bernilai negatif, jika m dan n ganjil
  • (-1)\(\mathrm{^{\frac{m}{n}}}\) tidak terdefinisi untuk bilangan real, jika m ganjil dan n genap.
Karena (-1)\(\mathrm{^{\frac{{\color{Red} m}}{n}}}\) bernilai positif ketika m genap, maka syarat pangkat genap terpenuhi ketika m genap. Namun, bukan berarti kita mengganggap bahwa m/n adalah bilangan genap. 

Sebagai contoh, (3x - 2)x+1 = 1
Salah satu solusi dari persamaan diatas adalah ketika basisnya -1 dengan syarat pangkatnya genap (sifat D.2)
3x - 2 = -1
3x = 1
x = \(\frac{1}{3}\)

Periksa :
Untuk x = \(\frac{1}{3}\)  →  x + 1 = \(\frac{1}{3}\) + 1 = \(\frac{{\color{Red} 4}}{3}\)
Karena 4 bilangan genap, maka x = \(\frac{1}{3}\) memenuhi.


Selain bentuk-bentuk diatas, terdapat pula persamaan eksponen yang dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan kuadrat. Biasanya, persamaan seperti ini memuat 3 suku dengan 1 diantaranya konstan. Untuk solusinya dapat disimak pada contoh berikut!

 Contoh 7 
Tentukan HP dari 22x - 3. 2x+1 + 8 = 0

Jawab :
22x - 3. 2x+1 + 8 = 0
(2x)2 - 3. 2x . 21 + 8= 0
(2x)2 - 6(2x) + 8 = 0

Misalkan 2x = p, sehingga
p2 - 6p + 8 = 0
(p - 2)(p - 4) = 0
p = 2 atau p = 4

Untuk p = 2
2x = 2
2x = 21
x = 1

Untuk p = 4
2x = 4
2x = 22
x = 2

Jadi, HP = {1, 2}


Ketika mencari solusi dari persamaan eksponen, langkah pertama yang kita lakukan adalah memperhatikan basis dan pangkat pada kedua ruas persamaan tersebut, apakah sama atau berbeda. Hal ini kita lakukan sebagai acuan dalam memilih sifat mana yang akan digunakan. Seandainya kedua basisnya konstan dan memungkinkan untuk disamakan, maka samakan basisnya terlebuh dahulu.

Berikut beberapa contoh latihan soal persamaan eksponen.

 Latihan 1 
Tentukan penyelesaian dari (0,125)x+1 = \(\sqrt{16^{1-\mathrm{x}}}\)

Jawab :
(0,125)x+1 = \(\sqrt{16^{1-\mathrm{x}}}\)
\(\mathrm{\left ( \frac{1}{8} \right )^{x+1}}\) = \(16^{\frac{1-\mathrm{x}}{2}}\)
\(\mathrm{\left ( 2^{-3} \right )^{x+1}}\) = \(\left ( 2^{4} \right )^{\frac{1-\mathrm{x}}{2}}\)
(2)-3x-3 = (2)2-2x

Berdasarkan sifat A diperoleh
-3x - 3 = 2 - 2x
-x = 5
x = -5

Jadi, penyelesaiannya adalah x = -5


 Latihan 2 
Jika penyelesaian dari 5t4-1 = 3t4-1 adalah t1 dan t2 dengan t1 > t2, tentukan nilai t2 - t1 !

Jawab :
Berdasarkan sifat B maka
t4 - 1 = 0
(t2 - 1)(t2 + 1) = 0
(t + 1)(t - 1)(t2 + 1) = 0
t = -1  atau t = 1
Catatan : t2 + 1 = 0 tidak mempunyai penyelesaian real, dapat diuji dari nilai diskriminannya yang kurang dari nol.

Karena t1 > t2 , maka t1 = 1 dan t2 = -1. Akibatnya
t2 - t1 = -1 - 1 = -2


 Latihan 3 
Tentukan HP dari 3x2-1 = 2x+1

Jawab :
Berdasarkan sifat C, maka
log 3x2-1 = log 2x+1
(x2 - 1) log 3 = (x + 1) log 2
(x + 1)(x - 1) log 3 = (x + 1) log 2
Perhatikan bahwa ruas kiri dan kanan mempunyai faktor yang sama, yaitu (x + 1). Artinya, ruas kiri akan sama dengan ruas kanan ketika (x + 1)  = 0.
x + 1 = 0
x = -1

Untuk (x + 1) ≠ 0, maka
(x + 1)(x - 1) log 3 = (x + 1) log 2
(x - 1) log 3 = log 2
x log 3 - log 3 = log 2
x log 3 = log 2 + log 3
x log 3 = log 6
x = \(\mathrm{\frac{log\;6}{log\;3}}\)
x = 3log 6

HP = {-1, 3log 6}


 Latihan 4 
Tentukan HP dari (x2 - x - 1)3x-9 = 1

Jawab :
Berdasarkan sifat D, persamaan eksponen diatas mempunyai 3 kemungkinan solusi.

Solusi 1 : Basisnya sama dengan 1.
x2 - x - 1 = 1
x2 - x - 2 = 0
(x + 1)(x - 2) = 0
x = -1 atau x = 2

Solusi 2 : Basisnya sama dengan -1, dengan syarat pangkatnya genap.
x2 - x - 1 = -1
x2 - x = 0
x(x - 1) = 0
x = 0 atau x = 1
Untuk x = 0  → (3x - 9) bernilai ganjil
Untuk x = 1  → (3x - 9) bernilai genap
Jadi, yang memenuhi adalah x = 1

Solusi 3 : Pangkatnya sama dengan nol, dengan syarat basisnya tidak sama dengan nol.
3x - 9 = 0
3x = 9
x = 3
Periksa : Untuk x = 3  →  (x2 - x - 1) ≠ 0
Jadi, x = 3 memenuhi

∴ HP = {-1, 1, 2, 3}


 Latihan 5 
Tentukan HP dari (x2 + 3x - 2)2x+3 = (x2 + 2x + 4)2x+3

Jawab :
Berdasarkan sifat E, persamaan eksponen diatas mempunyai 3 kemungkinan solusi.

Solusi 1 : Basis kiri sama dengan basis kanan.
x2 + 3x - 2 = x2 + 2x + 4
3x - 2 = 2x + 4
x = 6

Solusi 2 : Basis berlainan tanda, dengan syarat pangkatnya genap.
x2 + 3x - 2 = -(x2 + 2x + 4)
x2 + 3x - 2 = -x2 - 2x - 4
2x2 + 5x + 2 = 0
(2x + 1)(x + 2) = 0
x = -1/2 atau x = -2
Periksa :
Untuk x = -1/2  →  (2x + 3) bernilai genap
Untuk x = -2  →  (2x + 3) bernilai ganjil
Jadi, yang memenuhi adalah x = -1/2

Solusi 3 : Pangkatnya sama dengan nol, dengan syarat kedua basisnya tidak sama nol.
2x + 3 = 0
x = -3/2
Periksa : Untuk x = -3/2 maka
(x2 + 3x - 2) ≠ 0
(x2 + 2x + 4) ≠ 0
Karena keduanya ≠ 0, maka x = -3/2 memenuhi.

∴ HP = {-3/2, -1/2, 6}


 Latihan 6 
Tentukan HP dari (x2 - 1)x-1 = (x2 - 1)x+1

Jawab :
Berdasarkan sifat F, persamaan diatas memiliki 4 kemungkinan solusi.

Solusi 1 : Pangkat kiri sama dengan pangkat kanan.
x - 1 = x + 1
Tidak ada nilai x yang memenuhi.

Solusi 2 : Basisnya sama dengan 1.
x2 - 1 = 1
x2 = 2
x = √ 2  atau x = -√ 2

Solusi 3 : Basisnya sama dengan -1, dengan syarat kedua pangkatnya genap atau keduanya ganjil.
x2 - 1 = -1
x2 = 0
x = 0
Periksa : Untuk x = 0 maka
(x - 1) bernilai ganjil
(x + 1) bernilai ganjil
Karena keduanya ganjil, maka x = 0 memenuhi.

Solusi 4 : Basisnya = 0, dengan syarat kedua pangkatnya ≠ 0.
x2 - 1 = 0
(x + 1)(x - 1) = 0
x = -1 atau x = 1
Periksa :
Untuk x = -1 maka (x - 1) ≠ 0 dan (x + 1) = 0
Jadi, x = -1 tidak memenuhi.

Untuk x = 1 maka (x - 1) = 0 dan (x + 1) ≠ 0
Jadi, x = 1 tidak memenuhi.

∴ HP = {-√2, 0, √2}


 Latihan 7 
Akar-akar persamaan 9x+1 - 10.3x + 1 = 0 adalah x1 dan x2. Jika x1 > x2, tentukan x1 - x2

Jawab :
9x+1 - 10.3x + 1 = 0
9x.91 - 10.3x + 1 = 0
9(3x)2  - 10(3x) + 1 = 0

Misalkan a = 3x sehingga
9a2 - 10a + 1 = 0
(9a - 1)(a - 1) = 0
a = \(\frac{1}{9}\) atau a = 1

Untuk a = \(\frac{1}{9}\)
3x = \(\frac{1}{9}\)
3x = 3-2
x = -2

Untuk a = 1
3x = 1
3x = 30
x = 0

Karena x1 > x2, maka x1 = 0 dan x2 = -2. Akibatnya
x1 - x2 = 0 - (-2) = 2
Jadi, nilai x1 - x2 adalah 2.


 Latihan 8 
Akar-akar persamaan 6x2-x = 2x+1 adalah x1 dan x2. Tentukan nilai x1 + x2

Jawab :
x1 + x2 = 6log 12

0 Response to "Penyelesaian Persamaan Eksponen"

Post a Comment

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel