Sunday, January 1, 2017

Pembuktian Rumus Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Ada beberapa konsep yang digunakan untuk membuktikan rumus-rumus persamaan garis singgung lingkaran, diantaranya :
  • Persamaan lingkaran dengan pusat (a, b) dan jari-jari r adalah $$\mathrm{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}}$$
  • Gradien garis $$\mathrm{m=\frac{\Delta y}{\Delta x}}$$
  • Misalkan g adalah garis singgung lingkaran dan r adalah ruas garis yang melalui pusat dan titik singgung lingkaran, maka $$\mathrm{g\perp r}$$
  • Garis g tegak lurus terhadap r maka $$\mathrm{m_{g}\cdot m_{r}=-1}$$
  • Persamaan garis yang melalui titik (x1, y1) dengan gradien m adalah $$\mathrm{y-y_{1}=m(x-x_{1})}$$

Persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di (0, 0) dan melalui titik (x1, y1) adalah $$\mathrm{\mathbf{x_{1}x+y_{1}y=r^{2}}}$$


Bukti :


Persamaan lingkaran di atas adalah
x2 + y2 = r2  ....... (1)

Gradien dari r adalah
mr = \(\mathrm{\frac{y}{x}}\)

Karena \(\mathrm{g\perp r}\), maka
mg . mr = −1
mg . \(\mathrm{\frac{y}{x}}\) = −1
mg = \(\mathrm{-\frac{x}{y}}\)

Garis singgung g melalui titik (x1, y1) dengan gradien mg, maka
y − y1 = mg(x − x1)
y − y1 = \(\mathrm{-\frac{x}{y}}\)(x − x1)
y(y − y1) = −x(x − x1)
y2 − y1 y =  −x2 + x1 x
x1 x + y1 y = x2 + y2

Substitusi persamaan (1) pada ruas kanan persamaan diatas diperoleh
x1 x + y1 y = r2
Terbukti !!!


Persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di (a, b) dan melalui titik (x1, y1) adalah $$\mathrm{\mathbf{\left ( x_{1}-a \right )\left ( x-a \right )+\left ( y_{1}-b \right )\left ( y-b \right )=r^{2}}}$$

Bukti :


Persamaan lingkaran di atas adalah :
(x − a)2 + (y − b)2 = r2

Karena (x1, y1) terletak pada lingkaran maka
(x1 − a)2 + (y1 − b)2 = r2  ......... (1)

Gradien dari r adalah
mr = \(\mathrm{\frac{y_{1}-b}{x_{1}-a}}\)

Karena \(\mathrm{g\perp r}\), maka
mg . mr = −1
mg . \(\mathrm{\frac{y_{1}-b}{x_{1}-a}}\) = −1
mg = \(\mathrm{-\frac{x_{1}-a}{y_{1}-b}}\)

Garis singgung g melalui titik (x1, y1) dengan gradien mg, maka
y − y1 = mg(x − x1)
y − y1 = \(\mathrm{-\frac{x_{1}-a}{y_{1}-b}}\)(x − x1)
⇔ (y1 − b)(y − y1) = −(x1 − a)(x − x1)
⇔ (y1 − b){(y − b) − (y1 − b)} = −(x1 − a){(x − a) − (x1 − a)}
⇔ (y1 − b)(y − b) − (y1 − b)2 = −(x1 − a)(x − a) + (x1 − a)2
⇔ (x1 − a)(x − a) + (y1 − b)(y − b) = (x1 − a)2 + (y1 − b)2

Substitusi persamaan (1) pada ruas kanan persamaan diatas diperoleh
(x1 − a)(x − a) + (y1 − b)(y − b) = r2
Terbukti !!!


Persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di (0, 0) dan bergradien m adalah $$\mathrm{\mathbf{y=mx\pm r\sqrt{1+m^{2}}}}$$

Bukti :
Persamaan lingkaran
x2 + y2 = r2  .................. (1)

Misalkan persamaan garis singgung
y = mx + n  ....................(2)

Dari persamaan (1) dan (2)
x2 + y2 = r2
x2 + (mx + n)2 = r2
x2 + m2x2 + 2mnx + c2 − r2 = 0
(1 + m2)x2 + 2mnx + c2 − r2 = 0

Karena garis menyinggung lingkaran, maka secara aljabar berlaku
D = 0
b2 − 4ac = 0
b2 = 4ac
(2mn)2 = 4.(1 + m2).(n2 − r2)
4m2n2 = 4(n2 − r2 + m2n2 − m2r2)
m2n2 = n2 − r2 + m2n2 − m2r2
n2 = r2 + m2r2
n2 = r2 (1 + m2)
n = ± r\(\mathrm{\sqrt{1+m^{2}}}\)

Substitusi n ke persamaan (2) diperoleh
y = mx ± r\(\mathrm{\sqrt{1+m^{2}}}\)
Terbukti !!!


Persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di (a, b) dan bergradien m adalah $$\mathrm{\mathbf{y-b=m(x-a)\pm r\sqrt{1+m^{2}}}}$$

Bukti :
Persamaan diatas dapat dibuktikan dengan cara dan langkah-langkah yang sama dengan pembuktian sebelumnya. Namun untuk pembuktian kali ini kita akan mencoba dengan cara yang sedikit berbeda, yaitu pada persamaan garis yang digunakan.

Persamaan lingkaran
(x − a)2 + (y − b)2 = r2  .................. (1)


Dari gambar diatas dapat dilihat bahwa :
Garis p melalui titik (a, b) dengan gradien m sehingga
y − b = m(x − a)

Garis g diperoleh dengan menggeser garis p tanpa merubah gradiennya, sehingga garis g dapat dinyatakan sebagai berikut
y − b = m(x − a) + n  ........................(2)

Langkah selanjutnya adalah menentukan n sehingga garis g menyinggung lingkaran.

Dari persamaan (1) dan (2)
(x − a)2 + (y − b)2 = r2
(x − a)2 + (m(x − a) + n)2 = r2
(x − a)2 + m2(x − a)2 + 2mn(x − a) + n2 = r2
(1 + m2)(x − a)2 + 2mn(x − a) + n2 − r2 = 0

Misalkan p = x − a, maka
(1 + m2)p2 + 2mnp + n2 − r2 = 0

Agar garis g menyinggung lingkaran maka haruslah diskriminan PK diatas bernilai nol
D = 0
b2 − 4ac = 0
b2 = 4ac
(2mn)2 = 4.(1 + m2).(n2 − r2)
4m2n2 = 4(n2 − r2 + m2n2 − m2r2)
m2n2 = n2 − r2 + m2n2 − m2r2
n2 = r2 + m2r2
n2 = r2 (1 + m2)
n = ± r\(\mathrm{\sqrt{1+m^{2}}}\)

Substitusi n ke persamaan (2) diperoleh
y − b = m(x − a) ± r\(\mathrm{\sqrt{1+m^{2}}}\)
Terbukti !!!


Artikel Terkait


EmoticonEmoticon