Friday, December 23, 2016

Persamaan Lingkaran


Persamaan lingkaran dengan pusat (0, 0) dan jari-jari r adalah
x2 + y2 = r2

Persamaan lingkaran dengan pusat (a, b) dan jari-jari r adalah
(x - a)2 + (y - b)2 = r2

Persamaan diatas sering disebut dengan bentuk baku persamaan lingkaran.

Contoh 1
Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran berikut!
a.  x2 + y2 = 9

    Jawab :
    P(0,0)
    r = √9 = 3

b.  4x2 + 4y2 = 100

    Jawab :
    4x2 + 4y2 = 100  ⇔  x2 + y2 = 25
    P(0, 0)
    r = √25 = 5

c.  (x − 1)2 + (y − 2)2 = 12

    Jawab :
    P(1, 2)
    r = √12 = 2√3

d.  (x + 3)2 + (y − 4)2 = 16

     Jawab :
     P(−3, 4)
     r = √16 = 4



Contoh 2
Tentukan persamaan lingkaran jika diketahui :
a.  P(0, 0) ; r = 7

    Jawab :
    x2 + y2 = 72
    x2 + y2 = 49

b.  P(2, −2) ; r = 3√2

    Jawab :
    (x − 2)2 + (y + 2)2 = (3√2)2
    (x − 2)2 + (y + 2)2 = 18


Selain dalam bentuk baku diatas, persamaan lingkaran dapat pula dinyatakan dalam bentuk umum sebagai berikut :
x2 + y2 + Ax + By + C= 0

dengan pusat dan jari-jarinya adalah
\(\mathrm{P=\left ( -\frac{A}{2},\;-\frac{B}{2} \right )}\)
\(\mathrm{r=\sqrt{\frac{A^{2}}{4}+\frac{B^{2}}{4}-C}}\)

Contoh 3
Tentukan bentuk umum persamaan lingkaran yang berpusat di P(−1, 3) dengan jari-jari 7 !

Jawab :
(x + 1)2 + (y − 3)2 = 72
x2 + 2x + 1 + y2 − 6y + 9 = 49
x2 + y2 + 2x − 6y − 39 = 0

Contoh 4
Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran \(\mathrm{x^{2}+y^{2}-6x+2y-15=0}\) !

Jawab :
A = −6 ; B = 2 ; C = −15

Pusat lingkaran :
P\(\mathrm{(-\frac{A}{2},-\frac{B}{2})}\)
P\(\mathrm{(-\frac{(-6)}{2},-\frac{2}{2})}\) ⇔ P(3, −1)

Jari-jari lingkaran :
r = \(\mathrm{\sqrt{\frac{A^{2}}{4}+\frac{B^{2}}{4}-C}}\)
r = \(\mathrm{\sqrt{\frac{(-6)^{2}}{4}+\frac{2^{2}}{4}-(-15)}}\) = 5


Latihan Soal Persamaan Lingkaran

Latihan 1
Persamaan lingkaran yang berpusat di (−2, 1) dan melalui titik (1, 5) adalah...

Jawab :
Persamaan lingkaran dengan pusat (−2, 1) dan jari-jari r adalah :
(x + 2)2 + (y − 1)2 = r2

Lingkaran melalui titik (1, 5) sehingga :
(1 + 2)2 + (5 − 1)2 = r2
25 = r2

Jadi, persamaan lingkaran :
(x + 2)2 + (y − 1)2 = 25

atau dalam bentuk umum :
x2 + y2 + 4x − 2y − 20 = 0


Latihan 2
Jika diameter suatu lingkaran adalah AB dengan titik A(4, 5) dan B(0, −3), tentukan persamaan lingkaran tersebut !

Jawab :

Diameter adalah jarak titik A ke titik B :
d = AB = \(\mathrm{\sqrt{(4-0)^{2}+(5-(-3))^{2}}}\) = \(\sqrt{80}\)

Jari-jari adalah setengah dari diameter :
r = \(\frac{1}{2}\)\(\sqrt{80}\)

Pusat lingkaran adalah titik tengah AB :
P\(\left ( \frac{4+0}{2},\frac{5+(-3)}{2} \right )\) ⇔ P(2, 1)

Jadi, persamaan lingkaran :
(x − 2)2 + (y − 1)2 = \(\left (\frac{1}{2}\sqrt{80}  \right )^{2}\)
(x − 2)2 + (y − 1)2 = 20

atau dalam bentuk umum :
x2 + y2  4x − 2y − 15 = 0


Latihan 3
Persamaan lingkaran yang berpusat di (−2, 3) dan menyinggung garis \(\mathrm{x+2y+6=0}\) adalah...

Jawab :

INGAT :
Jarak titik (x1, x2) ke garis \(\mathrm{ax+by+c=0}\) adalah
d = \(\mathrm{\left | \frac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right |}\)

Jari-jari adalah jarak dari titik pusat (−2, 3) ke garis \(\mathrm{x+2y+6=0}\).
r = \(\mathrm{\left | \frac{1(-2)+2(3)+6}{\sqrt{1^{2}+2^{2}}} \right |}\) = 2\(\sqrt{5}\)

Jadi, persamaan lingkaran :
(x + 2)2 + (y − 3)2 = \(\left ( 2\sqrt{5}  \right )^{2}\)
(x + 2)2 + (y − 3)2 = 20

atau dalam bentuk umum :
x2 + y2 + 4x − 6y − 7 = 0


Latihan 4
Jika garis y = 2x + p menyinggung lingkaran \(\mathrm{x^{2}+y^{2}-6x-4y+8=0}\), tentukan nilai p !

Jawab :

Substitusi y = 2x + p ke persamaan lingkaran :
x2 + y2 − 6x − 4y + 8 = 0
x2 + (2x + p)2 − 6x − 4(2x + p) + 8 = 0
5x2 + (4p − 14)x + p2 − 4p + 8 = 0

Garis menyinggung lingkaran, maka :
D = 0
b2 − 4ac = 0
(4p − 14)2 − 4.5.(p2 − 4p + 8) = 0
p2 + 8p − 9 = 0
(p + 9)(p − 1) = 0
p = −9 atau p = 1


Latihan 5
Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat (3, 4) dan lingkaran tersebut
a. menyinggung sumbu-x
b. menyinggung sumbu-y

Jawab :


a.  P(3, 4) dan menyinggung sumbu-x, maka
     r = 4

     Persamaan lingkaran :
     (x − 3)2 + (y − 4)2 = 42
     (x − 3)2 + (y − 4)2 = 16

     atau dalam bentuk umum :
     x2 + y2  6x − 8y + 9 = 0

b.  P(3, 4) dan menyinggung sumbu-y, maka
     r = 3

     Persamaan lingkaran :
     (x − 3)2 + (y − 4)2 = 32
     (x − 3)2 + (y − 4)2 = 9

     atau dalam bentuk umum :
     x2 + y2  6x − 8y + 16 = 0


Latihan 6
Tentukan persamaan lingkaran yang pusatnya terletak pada garis \(\mathrm{y=x+4}\) serta menyinggung sumbu-x negatif dan sumbu-y positif !

Jawab :

Lingkaran menyinggung sumbu-x negatif dan sumbu-y positif, sehingga pusatnya dapat ditulis :
P(−a, b) dengan a = b.

Karena P(−a, b) terletak pada garis \(\mathrm{y=x+4}\) maka
b = −a + 4

Karena a = b maka
b = −a + 4
a = −a + 4
a = 2

Diperoleh a = b = 2

Sehingga pusat lingkaran tersebut adalah :
P(−a, b) ⇔ P(−2, 2)

Karena lingkaran menyinggung kedua sumbu, maka
r = |a| = |b| = 2

Jadi, persamaan lingkaran :
(x + 2)2 + (y − 2)2 = 22
(x + 2)2 + (y − 2)2 = 4

atau dalam bentuk umum :
x2 + y2 + 4x − 4y + 4 = 0


Artikel Terkait


EmoticonEmoticon