Menentukan Nilai Stasioner dan Jenis Ekstrim Fungsi


Jika f(x) diferensiabel di x = a dengan \(\mathrm{f '(a) = 0}\) maka f(a) adalah nilai stasioner di x = a dan titik (a, f(a)) disebut titik stasioner dari f(x).

Perhatikan grafik fungsi berikut !

Dari grafik diatas dapat dilihat bahwa f(a) adalah nilai stasioner di x = a dan f(b) adalah nilai stasioner di x = b, dimana turunan pertama di titik-titik tersebut bernilai nol. Selanjutnya titik (a, f(a)) dan (b, f(b)) disebut titik stasioner dari fungsi f.


Contoh 1
Tentukan nilai stasioner dan titik stasioner dari fungsi \(\mathrm{f(x)=x^{2}-4x}\)

Jawab :
f '(x) = 2x − 4

f(x) stasioner ⇒ f '(x) = 0
⇔ 2x − 4 = 0
⇔ 2x = 4
⇔ x = 2
Jadi, nilai stasioner dicapai pada saat x = 2

Nilai stasioner : f(2) = (2)2 − 4(2) = −4
Titik stasioner : (2, −4)


Contoh 2
Tentukan nilai stasioner dan titik stasioner dari fungsi \(\mathrm{f(x)=x^{3}-3x+1}\)
Jawab :
f '(x) = 3x2 − 3
f(x) stasioner ⇒ f '(x) = 0
⇔ 3x2 − 3 = 0
⇔ x2 − 1 = 0
⇔ (x + 1)(x − 1 ) = 0
⇔ x = −1 atau x = 1
Nilai stasioner pada x = −1 :
f(−1) = (−1)3 − 3(−1) + 1 = 3

Nilai stasioner pada x = 1 :
f(1) = (1)3 − 3(1) + 1 = −1

Titik stasioner : (−1, 3) dan (1, −1)

Nilai-nilai stasioner sering juga disebut sebagai bakal calon nilai ektrim. Ada 2 jenis ektrim fungsi, yaitu nilai balik maksimum dan nilai balik minimum. Nilai balik maksimum/minimum sering juga disebut dengan nilai maksimum/minimum relatif atau maksimum/minimum lokal.

Untuk menentukan jenis ektrim suatu fungsi dapat dilakukan dengan uji turunan pertama dan uji turunan kedua.

Uji Turunan Pertama

Misalkan f(a) adalah nilai stasioner di x = a.
1.  f(a) adalah nilai balik maksimum, jika : 
     untuk x < a maka f '(x) > 0 (naik)
     untuk x > a maka f '(x) < 0 (turun)
    2.  f(a) adalah nilai balik minimum, jika :
         untuk x < a maka f '(x) < 0 (turun)
         untuk x > a maka f '(x) > 0 (naik)

      Contoh 3
      Dengan menggunakan uji turunan pertama, tentukan jenis ekstrim dari fungsi \(\mathrm{f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x+1}\)

      Jawab :
      f '(x) = 3x2 − 12x + 9

      f '(x) = 0
      ⇔ 3x2 − 12x + 9 = 0
      ⇔ x2 − 4x + 3 = 0
      ⇔ (x − 1)(x − 3) = 0
      ⇔ x = 1 atau x = 3

      Nilai stasioner di x = 1 adalah
      f(1) = (1)3 − 6(1)2 + 9(1) + 1 = 5

      Nilai stasioner di x = 3 adalah
      f(3) =  (3)3 − 6(3)2 + 9(3) + 1 = 1


      Karena pada x = 1 terjadi perubahan dari naik menjadi turun, maka f(1) = 5 adalah nilai balik maksimum.
      Karena pada x = 3 terjadi perubahan dari turun menjadi naik, maka f(3) = 1 adalah nilai balik minimum.

      Sketsa grafik (update 18/5/17)



      Uji Turunan Kedua

      Misalkan f(a) adalah nilai stasioner di x = a
      • Jika f ''(a) < 0 maka f(a) adalah nilai balik maksimum. 
      • Jika f ''(a) > 0 maka f(a) adalah nilai balik minimum. 
      • Jika f ''(a) = 0 maka jenis ekstrim belum dapat ditetapkan (gunakan uji turunan pertama untuk menentukan jenis ekstrimnya)

        Contoh 4
        Dengan menggunakan uji turunan kedua, tentukan jenis ekstrim dari fungsi \(\mathrm{f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x+1}\)

        Jawab :
        f '(x) =  3x2 − 12x + 9
        f ''(x) = 6x − 12

        f '(x) = 0
        ⇔ 3x2 − 12x + 9 = 0
        ⇔ x2 − 4x + 3 = 0
        ⇔ (x − 1)(x - 3) = 0
        ⇔ x = 1 atau x = 3

        Nilai stasioner pada x = 1 :
        f(1) = (1)3 − 6(1)2 + 9(1) + 1 = 5

        Nilai stasioner pada x = 3
        f(3) = (3)3 − 6(3)2 + 9(3) + 1 = 1

        Uji turunan kedua
        f ''(1) = 6(1) − 12 = −6 < 0
        Karena f ''(1) < 0 maka f(1) = 5 adalah nilai balik maksimum

        f ''(3) = 6(3) − 12 = 6 > 0
        Karena f ''(3) > 0 maka f(3) = 1 adalah nilai balik minimum


        Contoh 5
        Tentukan jenis ekstrim dari fungsi \(\mathrm{f(x)=x^{4}+1}\)

        Jawab :
        f '(x) = 4x3 
        f ''(x) = 12x2 

        f '(x) = 0
        ⇔ 4x3 = 0
        ⇔ x = 0

        Nilai stasioner pada x = 0 :
        f(0) = (0)4 + 1 = 1

        Uji turunan kedua
        f ''(0) = 12(0)2  = 0
        Karena f ''(0) = 0 maka f(0) belum dapat ditetapkan

        Uji turunan pertama
        untuk x < 0 diperoleh f '(x) < 0 (turun)
        untuk x > 0 diperoleh f '(x) > 0 (naik)

        Karena pada x = 0 terjadi perubahan dari turun menjadi naik, maka f(0) = 1 adalah nilai balik minimum.

        Latihan Soal

        Latihan 1
        Diketahui fungsi \(\mathrm{y=ax^{3}+bx^{2}}\) dengan a dan b konstan. Jika nilai stasioner di \(\mathrm{x=1}\) adalah −1, tentukan nilai a − b !

        Jawab :
        Substitusi titik stasioner (1, −1) ke fungsi y :
        y = ax3 + bx2
        ⇔ −1 = a(1)3 + b(1)2
        ⇔ −1 = a + b .................(1)

        f(x) = ax3 + bx2
        f '(x) = 3ax2 + 2bx

        Karena f stasioner di x = 1 maka :
        f '(1) = 0
        ⇔ 3a(1)2 + 2b(1) = 0
        ⇔ 3a + 2b = 0 ................(2)

        Eliminasi (1) dan (2)
          a +   b = −1   ×3
        3a + 2b = 0     ×1

        3a + 3b = −3
        3a + 2b = 0   _
                  b = −3

        Dari persamaan (1)
        a + b = −1
        a + (−3) = −1
        a = 2

        Jadi, a − b = 2 − (−3) = 5


        Latihan 2
        Grafik fungsi kuadrat \(\mathrm{f(x)=-x^{2}-2px+3}\) mencapai nilai balik maksimum untuk absis \(\mathrm{x=-1}\). Tentukan nilai p dan koordinat titik balik maksimum fungsi tersebut !

        Jawab :
        f(x) = −x2 − 2px + 3
        f '(x) = −2x − 2p

        Karena f mencapai nilai balik maksimum di \(\mathrm{x = -1}\) maka :
        f '(−1) = 0
        ⇔ −2(−1) − 2p = 0
        ⇔ 2 − 2p = 0
        ⇔ p = 1

        Untuk p = 1 maka 
        f(x) = −x2 − 2(1)x + 3
        f(x) = −x2 − 2x + 3

        Nilai balik maksimum :
        f(−1) = −(−1)2 − 2(−1) + 3 = 4

        Jadi, titik balik maksimum : (−1, 4)


        Latihan 3
        Fungsi kuadrat \(\mathrm{f(x)=ax^{2}+bx-5}\) mempunyai koordinat titik balik minimum di \(\mathrm{(2,-9)}\). Hitunglah nilai \(\mathrm{a + b}\) !

        Jawab :
        Substitusi titik (2, −9) ke fungsi f(x)
        −9 = a(2)2  + b(2) − 5
        4a + 2b = −4 ......................(1)

        f '(x) = 2ax + b
        Karena f mencapai nilai balik minimum di \(\mathrm{x=2}\), maka :
        f '(2) = 0
        2a(2) + b = 0
        4a + b = 0 ..........................(2)

        Eliminasi (1) dan (2) diperoleh 
        a = 1
        b = −4

        Jadi, a + b = 1 + (−4) = −3


        0 Response to "Menentukan Nilai Stasioner dan Jenis Ekstrim Fungsi"

        Post a Comment

        Iklan Atas Artikel

        Iklan Tengah Artikel 1

        Iklan Tengah Artikel 2

        Iklan Bawah Artikel